【算数】 速さの問題－問題の意味を考えながら解いて欲しい。

【 問題 】　難易度 － ややむずかしい

Ａ君、Ｂ君、Ｃ君の３人が同時に学校を出発します。Ａ君は図書館に行き、Ｂ君とＣ君は図書館の前を通って本屋に行きます。Ｂ君はＡ君よりも１分間に５ｍ多く進み、Ａ君よりも２分早く図書館に来ます。Ｃ君はＡ君よりも１分間に１５ｍ多く進み、Ａ君よりも５分早く図書館に来ます。また、Ｃ君が本屋に着いてから５分後にＢ君は本屋に着きます。

（１）

Ａ君が図書館に着いたとき、Ｃ君と図書館の距離はＢ君と図書館の距離の何倍ですか。

（２）

図書館と本屋の距離は何ｋｍですか。

【 解答 】

すいません<(_ _)>、また後日に書きます<(_ _)> にほんブログ村 中学受験

【算数】 平面図形・面積－差に着目してあてはめてあげる。

【 問題 】　難易度 － ふつう


上図のように、ＡＢ上に１辺がある２つの正方形ＡＦＧＨとＢＣＤＥがあります。

ＧＡ：ＢＤ＝２：３、ＨＥ＝８㎝、台形ＧＢＤＡの面積＝９０ｃ㎡のとき、六角形ＦＧＢＣＤＡの面積はいくつですか。

【 解答 】

三角形の面積　＝　底辺　×　高さ　×　１/２

をきちんととらえること。

解説は下に載せるね。

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【算数】 平面図形・面積－いま解いている問題は何を問うているのか？てのはいつも考えて欲しい。

【 問題 】　難易度 － ややむずかしい

上図のように、正方形ＡＢＣＤと直角三角形ＤＣＦからできた台形ＡＢＦＤがあります。

ＡＥ：ＥＢ＝２：１、ＥＢ＝ＣＦ、です。

また、正方形ＡＢＣＤの中に点Ｇがあり、ＤＥとＧＢは平行、ＤＦとＧＣは平行、ＤＧをのばしてＢＦと交わった点がＨです。

（１）

ＤＧ：ＧＨはいくつですか。

（２）

六角形ＤＥＢＧＣＦの面積（青く色を塗った部分の面積）と、台形ＡＢＦＤの面積から六角形ＤＥＢＧＣＦの面積を引いた面積（色を塗ってない部分の面積。△ＡＥＤと△ＧＢＣの面積の和）の差が３㎡のとき、台形ＡＢＦＤの面積は何㎡ですか。

【 解答 】


（１）

どこに補助線を引いても解けちゃう。

相似を知っているなら教えてもらうことじゃなくて自分で気づかなきゃいけないことだと思う。

すぐにわかんなくたっていいじゃないか、あれこれ１０分２０分３０分悩んだっていいじゃないか、図形で遊べるクセってのは早めにつけた方がいい☆

ここではＤＥとＦＢをのばして交わる点をＩとしてみる。

すると、△ＤＩＦと△ＧＢＣは相似だ。

だって、大きさが違うだけで形はまったく同じでしょ。

だから、△ＤＩＦと△ＧＢＣは相似である。

よく見てちゃんと確認ね☆

で、ＩＦとＢＣの長さを比べてみると


ＩＦ　　＝　１．５　＋　３　＋　１　＝　５．５

ＢＣ　＝　３


だから


ＩＦ　：　ＢＣ　＝　５．５　：　３　＝　１１　：　６


になってる。

そう、△ＤＩＦと△ＧＢＣの相似比は１１：６なんだ。

相似比が１１：６てことはどの辺を比べてみても１１：６になってる。

ＤＩ：ＧＢだって１１：６だし、ＤＦ：ＧＣだって１１：６になってる。

よく見るんだよ☆

もうわかったね。ＤＨ：ＧＨも１１：６になってるから


ＤＧ　：　ＧＨ　＝　１１ － ６　：　６　＝　５　：　６


になる。

よって、答えは ５ ： ６ である。

（２）

ＤＧ　：　ＧＨ　＝　５　：　６

てことは、四角形ＤＢＧＣの面積と三角形ＧＢＣの面積だって５：６になってる。

当たり前けどよく見てちゃんと確認ね。

そして、この四角形ＤＢＧＣの面積と三角形ＧＢＣの面積の差が３㎡なんだ。

わかるかな？

だって、三角形ＤＥＢの面積と三角形ＤＣＦの面積は同じで、この２つの三角形の面積の和てのは三角形ＤＡＥの面積と同じっしょ。


△ＤＡＥの面積　＝　△ＤＥＢの面積　＋　△ＤＣＦの面積


そう、色を塗ってある部分と色を塗ってない部分とで同じ面積をとってあげれば、残りの四角形ＤＢＧＣの面積と三角形ＧＢＣの面積の差てのは、そのまま３㎡になる。


四角形ＤＢＧＣの面積と三角形ＧＢＣの面積の差は３㎡

四角形ＤＢＧＣの面積　：　三角形ＧＢＣの面積　＝　５　：　６


より、面積比の差の


６　－　５　＝　１


が３㎡にあたる。


１　＝　３㎡

⇒　四角形ＤＢＧＣの面積　＝　５　×　３　＝　１５㎡

　　 三角形ＧＢＣの面積　　＝　６　×　３　＝　１８㎡


となり


三角形ＤＢＣの面積　＝　１５　＋　１８　＝　３３㎡


となる。

できました☆


三角形ＤＢＣの面積　＝　３３㎡


なんだから


正方形ＡＢＣＤの面積　＝　３３　×　２　＝　６６㎡

三角形ＤＣＦの面積　＝　３３　×　１/３　＝　１１㎡

⇒　台形ＡＢＦＤの面積　＝　６６　＋　１１　＝　７７㎡


である。

よって、答えは ７７㎡ である。

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【算数】 平面図形・面積－正三角形と正方形の組み合わせ。見たことないと言って簡単に投げ出して欲しくない問題。

【 問題 】　難易度 － ややむずかしい

上図のように正方形２個と正三角形１個を組み合わせました。

ＢＦとＤＣの交わる点をＨ、ＢＦとＤＥの交わる点をＩとします。

正方形ＡＢＣＤの面積が１００ｃ㎡のとき、五角形ＡＨＩＧＤの面積（赤く色を塗った部分の面積）はいくつですか。

【 解答 】


五角形ＡＨＩＧＤの面積 ＝ 三角形ＤＢＦの面積

である。

だって、△ＤＡＨのＡをＢにもっていけば

△ＤＡＨの面積 ＝ △ＤＢＨの面積

だし、同じように、△ＤＧＩのＧをＦにもっていけば

△ＤＧＩの面積 ＝ △ＤＦＩの面積

でしょ。

だから、五角形ＡＨＩＧＤの面積を求めたければ、三角形ＤＢＦの面積を出してあげればいい。

三角形ＤＢＦは低角が１５°の二等辺三角形 （ ＤＢとＤＦは正方形ＡＢＣＤの対角線だね ） である。

１５°、１５°、１５０°の二等辺三角形の面積はちゃんと出せるようにしておこう☆

正方形ＡＢＣＤの対角線の長さを □ ㎝ とすると、正方形ＡＢＣＤの面積は


□　×　□　×　１/２　＝　１００ｃ㎡


となる。

ＤＢ　＝　ＤＦ　＝　□ ㎝

だから


△ＤＢＦの高さ　＝　ＦＪ　＝　□　×　１/２


となる。

△ＤＦＪは正三角形の半分だから、ＦＪはＤＦの半分の長さなんだね。

できました☆


△ＤＢＦの面積

＝　ＤＢ　×　ＦＪ　×　１/２

＝　□　×　□　×　１/２　×　１/２

＝　１００　×　１/２　＝　５０ｃ㎡

となる。

よって、答えは ５０ｃ㎡ である。

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【算数】 数の性質－３年生とか４年生で慣れちゃってもいい問題。

【 問題 】　難易度 － ふつう

４種類のケーキＡ、Ｂ、Ｃ、Ｄがあります。

Ａの個数は２２個、Ｂの個数は２０個、Ｃの個数は１０個、Ｄの個数は２６個です。

（１）

Ａ、Ｂ、Ｃの全部を、箱に２個ずつ入れます。１つの箱には同じ種類のケーキを入れません。ＡとＢが入った箱は何箱できますか。

（２）

Ａ、Ｂ、Ｃ、Ｄの全部を、箱に２個ずつ入れます。１つの箱には同じ種類のケーキを入れません。ＢとＤが入った箱をできるだけ多く作るとき、ＢとＤが入った箱は何箱できますか。また、ＢとＤが入った箱をできるだけ少なく作るとき、ＢとＤが入った箱は何箱できますか。

【 解答 】

こういう問題を５年生とか６年生で程よい手応えを感じながらさくっと解けてくれるととても嬉しい。

２月受験の子は今からが勝負。リードしてても気を抜いちゃダメだし、リードされてるなら歯を食いしばって追いつかなきゃだし、気合いが必要な時期だ。

受験生も保護者の方も、悔いだけは残さないように頑張って欲しい。

では、解説します☆

（１）

Ａ＝２２個、Ｂ＝２０個、Ｃ＝１０個だから、Ｃが入る箱は１０箱で、Ｃと同じ箱にはＡとＢを合わせて１０個入る。

ＡとＢは

２２個　＋　２０個　＝　４２個

あるから、そのうちの１０個はＣと同じ箱に入る。

すると、Ｃと同じ箱には１０個入るんだから、ＡとＢの残りは

４２個　－　１０個　＝　３２個

である。

この３２個でＡとＢの入った箱を作るんだけど、そのためにはＡの個数もＢの個数も同じでなきゃいけない。

３２個　÷　２　＝　１６個

となり、ＡとＢが１６個ずつで、ＡとＢの入った箱は１６箱できる。

わかるかな？


Ａ＝２２個のうち、１６個はＢとの箱で、６個はＣとの箱

Ｂ＝２０個のうち、１６個はＡとの箱で、４個はＣとの箱

Ｃ＝１０個のうち、６個はＡとの箱、４個はＢとの箱


である。

よって、答えは １６箱 である。

（２）

≪ できるだけ多く作るとき ≫

ＢとＤの入った箱をできるだけ多く作るんだから、ＡとＣをなるべく減らしてあげる。

Ａ＝２２個、Ｃ＝１０個だから、ＡとＣの入った箱は最も多くて１０箱作れる。

すると、Ａの残りは

２２個　－　１０個　＝　１２個

である。

この１２個はＢとＤと同じ箱に入れてあげないといけなくて、ＢとＤは

２０個　＋　２６個　＝　４６個

あるから、そのうち１２個はＡと同じ箱に入る。

すると、ＢとＤの残りは

４６個　－　１２個　＝　３４個

となって、この３４個でＢとＤの入った箱を作ってあげる。

３４個　÷　２　＝　１７個

となり、ＢとＤが１７個ずつで、ＢとＤの入った箱は１７箱できる。

よって、答えは １７箱 である。

≪ できるだけ少なく作るとき ≫

ＢとＤが入った箱をできるだけ少なく作るんだから、ＢとＤをなるべく多くＡとＣと同じ箱に入れてあげる。

ＡとＣは

２２個　＋　１０個　＝　３２個

で、ＢとＤをこの３２個と同じ箱に入れる。

すると、ＢとＤは

２０個　＋　２６個　＝　４６個

あるから、そのうちの３２個をＡとＣの３２個と結び付けてあげると、残りは

４６個　－　３２個　＝　１４個

となる。

この１４個でＢとＤの入った箱を作るんだから、Ｂの個数もＤの個数も同じでなきゃいけない。

１４個　÷　２　＝　７個

となり、ＢとＤが７個ずつで、ＢとＤの入った箱は７箱できる。

よって、答えは ７箱 である。

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【算数】 平面図形・面積 － ひし形を４つの四角形にわけた問題。

【 問題 】　難易度 － ふつう

上記のように、ひし形の中に１点をとって各辺の中点（線を１：１にわける点）と結び、４つの四角形Ａ、Ｂ、Ｃ、Ｄにわけました。

面積は大きい順にＡ、Ｂ、Ｄ、Ｃで、Ａの面積は８８ｃ㎡です。

また、ＢとＤの面積の差は８ｃ㎡、ＤとＣの面積の差は４ｃ㎡です。

ひし形の面積はいくつですか。

【 解答 】

Ａ ＋ Ｃ ＝ Ｂ ＋ Ｄ

は見た瞬間にわかって欲しい。

上図のようにひし形の各辺の中点を結ぶと長方形ができて

ａ ＋ ｃ ＝ ｂ ＋ ｄ

だから、同じ面積の三角形（○ の部分の面積）を足すと

Ａ ＋ Ｃ ＝ Ｂ ＋ Ｄ

になる。

これがわかれば余裕だね☆

Ｃの面積が一番小さいから、Ｃの面積を □ ｃ㎡ とすると


Ａ　＝　８８ｃ㎡

Ｂ　＝　□ ＋ １２ｃ㎡

Ｄ　＝　□ ＋ ４ｃ㎡

Ｃ　＝　□ ｃ㎡


で、Ａ＋Ｃ＝Ｂ＋Ｄだから


Ａ ＋ Ｃ ＝ Ｂ ＋ Ｄ

⇒ ８８ ＋ □ ＝ □ ＋ １２ ＋ □ ＋ ４

⇒ ８８ ＝ □ ＋ １６

⇒ □ ＝ ７２


となる。

できました☆

ひし形の面積はＡ＋Ｃの面積の２倍だから


ひし形の面積

＝ （ ８８ ＋ ７２ ） × ２

＝ ３２０ｃ㎡


となる。

よって、答えは ３２０ｃ㎡ である。

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【算数】 数の性質－奇数の約数に気づけるといいね。

【 問題 】　難易度 － ややむずかしい

先生が定価１２６円のノートをクラスの生徒の人数分用意しました。

まとめて買ったので割引してもらえ、定価で買うよりも全体で９９２円安く買うことができました。

このクラスの生徒は男子よりも女子の方が１人多いです。

このクラスの女子の人数は何人ですか。また、割引後のノート１冊の値段はいくらですか。

【 解答 】

ずいぶん前に、偏差値の高い４年生の子が勢いよく２０秒くらいで解いたんだけど、その時、解き方を聞いたらこんな感じだった。

僕

「どうやって解いた？」

４年生

「クラスの人数て奇数でしょ。だったら、９９２円は奇数で割れるから、奇数を探すんだけど、クラスの人数て３０人くらいだから、まず２９で割ったら割れなかったから３１で割ったら割れた。２回目で割り切れたし。」

僕

「２７では割らなかったの？」

４年生

「は？９９２は３の倍数じゃないし(^_-)」

僕

「クラスの人数が１００人ぐらいだったらどうすんの？」

４年生

「クラスの人数がそんなに多かったらおかしいし。そんなおかしな問題、うんこだし。」

僕

「お前、頭いいな～(-.-)」

僕が４年生のときも、たぶん、適当に奇数で割ったと思う。

この問題で一番大事なのは

クラスの人数は奇数だから、９９２は奇数で割れないといけない

である。

では、解説します☆

１冊あたりの割引金額を△円、クラスの人数を□人とすると


△　×　□　＝　９９２


になる。

で、男子よりも女子の方が１人多いんだから、クラスの人数は奇数である。

□は奇数なんだね。

９９２は４の倍数てのはすぐわかるから適当に４で割ってみると

９９２　＝　４　×　２４８

さらに４で割れるから

９９２＝４×２４８
　　　＝１６×６２

さらに２で割れるから

９９２＝４×２２８
　　　＝１６×６２
　　　＝３２×３１

となる。

奇数の３１が出てきた。

これがクラスの人数の□で、３２が割引金額の△である。


□　 ＝　３１

△　＝　３２


できました☆

女子の人数は


（ ３１ ＋ １ ） ÷ ２ ＝ １６人


で、割引後のノート１冊の値段は


１２６円　－　３２円　＝９４円


である。

よって、答えは


クラスの女子の人数　＝　１６人

割引後のノート１冊の値段　＝　９４円


である。

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